Aloitetaan reunasta, rohkeasti vaan

$$\begin{align}
4^x + 10^x &= 25^x \\
2^{2x} + (2\times5)^x &= 5^{2x} \\
(2^x)^2 + 2^x \times 5^x - (5^x)^2 &= 0
\end{align}$$
Jaetaan yhtälö puolittain termillä $(5^x)^2 \neq 0$, jolloin saadaan
\begin{align}
\left( \frac {2^x}{5^x} \right)^2
+ \frac{2^x}{5^x} -1 &= 0
\end{align}
Muuttujanvaihdos $u = \frac{2^x}{5^x}$ antaa yhtälön
\begin{align}
u^{2x} + u^x - 1 = 0.
\end{align}
Tämä ratkeaa (jollet muista sitä ulkoa) toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla;
\begin{align}
u& = \frac{-1\pm \sqrt{1^2 - 4\times1\times(-1)}}{2\times1} \\
&= \frac{-1\pm \sqrt5}{2}
\end{align}
Negatiivinen juuri voidaan unohtaa, koska $\frac{2^x}{5^x} >0$, jolloin saadaan
\begin{align}
u &= \frac{-1+\sqrt5}{2} \\
&=\varphi^{-1}
\end{align}
eli kultaisen leikkauksen konjugaatti (käänteisarvo). Ottamalla $u$:n määritelmän ylempää, saadaan
\begin{align}
u &= \frac{2^x}{5^x} \\
\varphi^{-1} &= \frac{2^x}{5^x}\\
5^x \varphi^{-1} &= 2^x\\
x\log 5 -\log\varphi &= x\log 2 \\
x(\log5 - \log2 )&= \log \varphi \\
x &= \frac{\log \varphi}{\log5 - \log2} = \log_{\frac25}\varphi
\end{align}
Tuohon voi tietenkin sijoittaa $\varphi = (1+\sqrt5)/2$.

Kuvasta näkee. Ota vain oikea kulma. Sen jälkeen osoita, että saadut pisteet ovat oikeita.

Otetaan vektoriksi $\vec{AB} = x \vec i + y \vec j$. Tässä on kaksi tuntematonta, mutta meillä on kaksiehtoa: kohtisuoruus ja pituus.

Kohtisuoruusehto (kulma OAB on suora) ajaa pistetuloon, joten lasketaan se
\begin{align}
\vec{OA}\cdot \vec{AB}&=0 \\
(\vec i + 2\vec j)\cdot (x\vec i + y\vec j) = x + 2y &= 0 \iff x=-2y
\end{align}
Toisesta, eli pituusehdosta saadaan
\begin{align}
|\vec{AB}|^2 &= 2^2|\vec{OA}\cdot |^2 \\
\iff \vec{AB}\cdot\vec{AB}\cdot &= 4 \vec{OA}\cdot \vec{OA}\\
x^2 + y^2 &= 4(1^2 + 2^2) \\
\iff (-2y)^2 + y^2 &= 20 \\
5y^2 &= 20 \Rightarrow y = \pm 2
\end{align}
(kannattaa suosiolla laskea pituuden neliö, jolloin päästään erooon tuosta karmaisevasta neliöjuuresta). Siis vektori $\vec{AB} = -2 (\pm2) \vec i \pm 2\vec j = \mp 4\vec i \pm 2 \vec j$.
Kysyttiin kuitenkin vain vektorin $\vec{OB}$ päätepistettä, mutta se saadaan helposti
\begin{align}
\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = \vec i + 2\vec j \mp 4\vec i \pm 2\vec j = -3\vec i + 4\vec j \text{ tai } 5\vec i
\end{align}

Kuten edellä, mutta otetaan $\vec{OB} = x\vec i + \vec j$. Tarvitaan $\vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB} = -\vec{OA} + \vec{OB} = -\vec i - 2\vec j + x\vec i + y \vec j$. Nyt
\begin{align}
\vec{OA}\cdot\vec{AB} &= (\vec i + 2\vec j)\cdot \left( (x-1)\vec i + (y-2)\vec j \right) \\
&= x-1 + 2y - 4 \\
&= 0
\end{align}
josta saadaan $x=5-2y$. Pituusehdosta saadaan
\begin{align}
|\vec{AB}|^2 &= 2^2|\vec{OA}|^2 \\
(x-1)^2 + (y-2)^2 &=4(1+2^2)\\
(4-2y)^2 + (y-2)^2 &= 20 \\
16 - 16y + 4y^2 + y^2 -4y + 4-20 &= 0\\
5y^2-20y &= 0
\end{align}
josta saadaan $y=0$ tai $y=4$. Vastaavat $x$:n arvot ovat $x=5$ tai $x=-3$.

1.
Kosinin arvojoukko on $-1\leq \cos 3x \leq
1$. Koska $x$ saa samat reaalilukuarvot kuin $3x$, niin $\cos 3x$:llä
on sama arvojoukko kuin $\cos x$:llä. Siis
\begin{align*}
-1&\leq \cos 3x \leq 1 \;  &|| -a \\
\Leftrightarrow
a&\geq a\cos 3x \geq -a \;  &|| +2 \\
\Leftrightarrow
2 + a&\geq  2+ a\cos 3x \geq 2 -a.
\end{align*}
Joten $2+a=9$ tai $2-a=9$ joista saadaan $a=\pm7$.

2. Nyt kosini-termi ei riipu $a$:sta, joten
lasketaan vain yläraja:
\begin{align*}
3\cos5x +2a \leq 3(1) + 2a = 9
\Leftrightarrow
a = (9-3)/2 = 6.
\end{align*}

Vastaus: 1: $a=\pm7$, 2: $a=6$.

Vilkaistaan ensin (mielenkiinnosta), miltä suoran yhtälö näyttää. Tehtävässä annettu suoran muoto on vähän sekava, eli otetaan yhteisiä tekijöitä
$$\begin{align}
\vec{OP} &= \vec i + 2\vec j + 2\vec k + t(2\vec i + \vec j + s\vec k) \\
&= (1+2t)\vec i + (2+t)\vec j +(2+ts)\vec k
\end{align}$$
Jos tuon pitäisi olla tasossa $3x+4y+5z=21$, niin saadaan
$$\begin{align}
3(1+2t) + 4(2+t) + 5(2+ts) &= 21\\
21 + 10 t + 5ts &= 21 \\
5t(2+s) &= 0
\end{align}
$$
joten jotta yhtälö toteutuu kaikilla $t$, tulee olla $2+s=0$ eli $s=-2$.

Kun $x>0$
\begin{align*}
x^{1/x} &= (x)^{1/x} \\
&= (e^{\ln(x)} )^{1/x} \\
&= e^{\ln(x)/x}
\end{align*}
riittää laskea raja-arvo $\lim_{x\to \infty} \ln(x)/x = 0$, joka oletetaan nyt tunnetuksi, koska logaritmi kasvaa hitaammin kuin $x$. Eksponenttifunktiolle pätee $\lim_{y\to0} e^y = 1$ Siis
$$\lim_{x\to \infty} x^{1/x} = 1$$

Aloitetaan luvun $10!$ laskemisella. Selvästi
\begin{align}
10! &= 2\times 3\times 4 \times\cdots \times 9\times 10 \\
&=2 \times 3 \times 2^2 \times 5 \times (2\times 3) \times 7\times 2^3\times 3^2 \times (2\times 5) \\
&= 2^8 \times 3^4 \times 5^2 \times 7
\end{align}
Huomataan, että minkä tahansa luvun loppuun saadaan nolla vain, jos sen tekijänä on $2\times5=10$. Yllä olevassa luvussa vitosten lukumäärä on oleellinen, ja se on kaksi ($5^2$), joten loppunollat saadaan luvusta $2^2 \times 5^2 = 10^2$. Lasketaan nollien määrä:
\begin{align*}
(10^2)^{100~000~000} = 10^{200~000~000}
\end{align*}
Nollia on $200~000~000$ kpl.

Huom! Luvun $2^6 \times 3^4 \times 7$ mistään potenssista ei tule loppunollaa. Miksei? Koska loppunolla vaatii luvun $10=2\times5$.

Selvästi nähdään, että $x\geq0$ ja lisäksi $x\geq\sqrt{3x+6}$, jotta neliöjuurilausekkeesta ei tule negatiivista. 
Korotetaan yhtälö toiseen potenssiin, ja saadaan
$$\begin{align*}
\sqrt{ x+ \sqrt{3x+6}} + \sqrt{ x - \sqrt{3x+6}} &= 6 && || ()^2 \\
2x  + 2 \sqrt{x + \sqrt{3x+6}} \sqrt{x-\sqrt{3x+6}} &= 36 && ||:2 \\
x + \sqrt{x^2 - (3x +6)} & = 18 && || -x \\
\sqrt{x^2 - 3x -6 } &= 18 - x && || ()^2 \\
x^2 - 3x - 6 &= 18^2 -36x + x^2 \\
33x &= 330
\end{align*}$$
josta $x=10$.

Merkitään pikkukolmion kateettien pituuksia $x$:llä ja $y$:llä oheisen kuvan mukaisesti. 

Saadaan
$$\begin{align*}
x^2 + y^2 &= 1 \\
(4-x)^2 + (3-y)^2 &= a
\end{align*}$$

Kolme tuntematonta ja kaksi yhtälöä. Kolmas yhtälö saadaan ison suorakaiteen pinta-alasta,
$$\begin{align*}
 2\frac12 xy + 2\frac12 (4-x)(3-y)+1\times a&= 12\\
xy + (4-x)(3-y) + a &= 12
\end{align*}$$
Ylimmästä saadaan 
$$
y = \pm\sqrt{1- x^2 }
$$
joten saadaan yhtälöpari (jollei ole virhettä)
$$\begin{align*}
(4 -x)^2 + (3\pm\sqrt{1-x^2})^2 &= a \\
\pm x \sqrt{1-x^2} + (4-x)(3\mp\sqrt{1-x^2}) + a &= 12
\end{align*}$$
Tuntematon $a$ olisi ratkaistuna jo ylemmässä, joten sijoittamalla se alempaan, saadaan yhtälö $x$:lle. Tosin se on vähän vaikea.
Nyt täytyy mennä.