Käyrän pituus $L$ on 
$$
L = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx
$$
Paraabelin $y = x^2$ derivaatta on helppo, $\frac{dy}{dx} = y' = 2x$, joten pituus on
$$
L = \int_{-1}^2 \sqrt{1 +(2x)^2}dx 
= \int_{-1}^2 \sqrt{1+4x^2}dx
$$
Mitenkäs tuo integroidaan? Integraali menee Geogebralla tai Wolfram Alphalla. Käsin lasku tehdään standardimuuttujan-vaihdoksella, $x = \sinh t$ tai $x=\tan t$, mutta lopulta saadaan
$$
\begin{align*}
\int_{-1}^2 \sqrt{1+4x^2}dx
&= \Bigg|  _{x=-1}^{x=2} \Bigg.\left[ \frac12 x \sqrt{1+ 4x^2} - \frac14 \ln| -2x+\sqrt{1+4x^2} | \right] \\
&= \frac14\left[ 4\sqrt{17} + 2\sqrt5 + \ln( \sqrt{17\times5} + 2\sqrt{17} + 4\sqrt{5} +8 )\right]
\end{align*}
$$

Ympyrälle pätee $x^2 + y^2 = r^2$, joten saadaan positiivinen puoliympyrä $y = \sqrt{r^2 - x^2}$.
Käyrän pituus on 
$$
\int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } dx
$$
Integroimisrajat ovat $-r \leq x \leq r$ ja derivaatta on helppo laskea
ja derivaatta tulee heittämällä
$$
\frac {dy}{dx} 
=
\frac d{dx } \sqrt{r^2 - x^2}
=
\frac{-x}{
\sqrt{r^2-x^2}
}
$$
Saadaan
\begin{align*}
\int_{-r}^r \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } dx
&= 
\int_{-r}^r \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}dx \\
&= 
\int_{-r}^r \sqrt{ \frac{r^2 }{r^2 - x^2} } dx \\
&= 
\int_{-r}^r \frac r{r\sqrt{1 - \left( \frac{x}{r} \right)^2}} d x
\end{align*}

Integraali on standardimuotoa ja helppo integroida, mm. Geogebra tekee sen heittämällä. Saadaan (sijoituksella $u= \frac xr$) 

$$
\int_{-r}^r \frac r{r\sqrt{1 - \left( \frac{x}{r} \right)^2}} d x
= \pi r
$$
joten koko ympyrän kehä on $2\pi r$. 

Koska sileälle infinitesimaaliselle mitalle saadaan $ds^2 = dx^2 + dy^2$, käyrän infinitesimaalinen pythagorasmainen pituus on
$$
ds = \sqrt{dx^2 + dy^ 2} = \sqrt{ \left( \frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left( \frac{dy}{d \theta} \right)^2 } d\theta
$$
 

josta sileän käyrän pituudeksi integroimalla (ja parametrisoimalla kulmamuuttujan $\theta$ suhteen) saadaan
$$
S = \int_a^b ds = \int_a^b  \sqrt{ \left( \frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left( \frac{dy}{d \theta} \right)^2 } d\theta
$$

Ympyrälle
$$
\begin{align*}
x &= r \cos \theta \\
y &= r \sin \theta 
\end{align*}
$$
ja $0\leq \theta\leq 2\pi$, joten saadaan derivaatat
$$\begin{align*}
\frac{dx}{d\theta} &= -r\sin\theta \\
\frac{dy}{d\theta} &= r\cos\theta
\end{align*}$$
Korotetaan ne toiseen potenssiin ja lasketaan yhteen, saadaan
$$
\left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2
= r^2\sin^2\theta + r^2\cos^2\theta = r^2
$$
Käyrän pituudeksi $S$ saadaan
$$
S = \int_0^{2\pi} \sqrt{
\left( \frac {dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2} d \theta
= 
\int_0^{2\pi} \sqrt{r^2} d\theta = r\int_0^{2\pi} d\theta
= 2\pi r
$$

Lasketaan napakoordinaatistossa. Käyrän $f$ pituus on
$$\begin{align*}
S = \int ds
&= \int_a^b
\sqrt{1 + \left( \frac{df}{dx} \right)^2}dx \\
&=
\int_{\theta_0}^{\theta_1}
\sqrt{r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2}d\theta
\end{align*}$$
(Se saadaan muuttujanvaihdolla, ei lasketa nyt).
Koska $r$ on vakio, $\frac{dr}{d\theta} = 0$, jolloin saadaan
$$\begin{align*}
S &= \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2}\\
&= \int_0^{2\pi} \sqrt{ r^2 } d\theta \\
&= 2\pi r - 0 \\
&= 2\pi r
\end{align*}$$

Numerolla 1 alkavia lukuja on $4!=24$ kpl, numerolla 2 samaten jne. Siis numeroilla 1, 2, 3 tai 4 alkavia lukuja on $4!\times 4 = 96$ kpl. Järjestetään loput käsin:
\begin{align*}
97. && 51234\\
98. && 51243\\
99. && 51324\\
100. && 51342 
\end{align*}
Siis vastaus o $5134$.

Selvästi saadaan
$$\begin{align*}
8^x + 8^{x+1} &= 3^2 \times 2^2\\
8^x + 8\times8^x &= 9\times 4 \\
8^x( 1+8 )&= 9\times 4\\
8^x \times 9 &= 9 \times 4 &&|| \div 9\\
8^x &= 4
\end{align*}$$
Tästä voidaan laskea vaikka logaritmeilla,  mutta nyt saadaan se helpommin, koska
$$8^x = (2^3)^x = 2^{3x} = 4 = 2^2$$
Eli saadaan uusi yhtälö $2^{3x} = 2^2$, josta saman kantaluvun perusteella saadaan $3x = 2$, joten $x = \frac23$.