Metaanimolekyyli CH$_4$ voidaan ajatella säännölliseksi tetraedriksi, jossa vetyatomit H ovat kärjissä ja hiiliatomi C keskipisteessä, yhtä kaukana kärjistä. Määritä metaanimolekyylin sidoskulma, ts hiiliatomista kahteen vetyatomiin vedettyjen janojen välinen kulma.

Kultaseppä aikoo ostaa $12~000$ markalla joko yhden suuren jalokiven tai kaksi $6~000$ mk arvoista pienempää ja hiottaa ostoksensa sitten uudestaan. Uudelleenhionta maksaa tuloksesta riippumatta suuren kiven osalta $1~000$ mk ja pienemmän $800$ mk sekä nostaa hionnan kestävän kiven arvoa $30\%$. Todennäköisysy, että hiottava kivi tuhoutuu sisäisen vian vuoksi, on suurta kiveä käsiteltäessä $0.1$ ja pienempää kiveä käsiteltäessä $0.08$. Kannattaako kultasepän ostaa yksi suuri jalokivi vai kaksi pienempää? Tässä kannattavuuden mittana pidetään hionnan jälkeisen varallisuuden odotusarvoa. 

Funktio $f \; : \; \mathbb R \to \mathbb R$ toteuttaa epäyhtälön (1) $f(x) - f(y) \geq x-y$ kaikilla arvopareilla $(x,y)$, joissa $x>y$. Osoita, että $f$ on kasvava. Osoita edelleen: Jos $f$ on derivoituva, $f'(x) \geq 1$ kaikilla $x\in \mathbb R$. Muodosta esimerkki funktiosta, joka täyttää ehdon (1) ja on epäjatkuva $\mathbb R$:ssä.

Määrää lausekkeen $|z-1|^2 + |z-\imath |^2$ suurin ja pienin arvo, kun $z$ on kompleksitason käyrällä $z\overline z = 1$. 

Käyrän $y^2 = x(x+1)(x-1)(2-x)$ pyörähtäessä $x$-akselin ympäri syntyy kaksi äärellistä kappaletta. Kumpi niistä on suurempi?

Yritys haluaa ostaa kadun varrella olevan suorakaiteen muotoisen tontin rakennuttaakseen sille suorakaiteen muotoisen toimitalon, jonka pohja on 490 m$^2$. Rakennuksen on oltava kadun puolella vähintään 9 metriä ja muilla puolilla vähintään 5 metriä tontin rajasta, ja seinien on oltava tontin rajojen suuntaisia. Mikä on pienin tontti, joka sopii tarkoitukseen?

Olkoon $\vec a = 4\vec i - 2\vec j$, $\vec b = -3\vec i + \vec j$ ja $\vec c = d\vec i +(d+1)\vec j$. Onko sellaisia reaalilukuja $d$, joilla vektorit $\vec a + \vec c$ ja $\vec b + \vec c$ ovat samansuuntaiset?

Millä arvoilla $a\in \mathbb R$ hyperbelillä $x^2 - 4y^2 = 16$ ja suoralla $y=ax$ on yhteisiä pisteitä, ja mitkä nämä pisteet ovat?

Ohessa on funktion $f \; : \; ]-1,9[ \to \mathbb R$ kuvaaja. Muodosta derivaatan $f'$ lauseke ja piirrä sen kuvaaja määrittelyjoukossaan. PS KUVA puuttuu.

Ratkaise epäyhtälö $e^x < e^{2x} -2$ ja piirrä tilannetta valaiseva kuvio.