1—10, 11—20, 21—30,
31—40, 41—50, 51—60, 61—70, 71—80, 81—90, 91—100, 101—110, 111—115 21
SatunnainenLaske epälineaarinen yhtälöpari
\begin{align*}
\begin{cases}
x^3y + xy^3 &= \frac{10(x+y)^2}{9} \\
x^4 y + xy^4 &= \frac{2(x+y)^3}{3}
\end{cases}
\end{align*}
Vihje EpälineaarinenYhtälöpari
1
22
SatunnainenSievennä
$$
\frac1{1-x} + \frac1{1+x}
+ \frac2{1+x^2}
+ \frac4{1+x^4}
+\frac8{1+x^8}
$$
1
Muistikaava Laventaminen
Näytä ratkaisu
Sievennetään samannimisiksi. Ensin kaksi ensimmäistä
$$\frac1{1-x} + \frac1{1+x} = \frac{1+x+1-x}{1-x^2} = \frac2{1-x^2}$$
Tähän saadaan seuraava kivasti mukaan:
$$\frac2{1-x^2}+\frac2{1+x^2} = \frac{2+2x^2 +2 - 2x^2}{1-x^4}= \frac4{1-x^4}$$
Rupeaa näyttämään tutulta. Otetaan seuraava, saadaan
$$
\frac4{1-x^4}+\frac4{1+x^4} = \frac{4(1+x^4) + 4(1-x^4)}{1-x^8}
= \frac8{1-x^8}
$$
Sitten ynnätään vielä se viimeinen
$$
\frac8{1-x^8} + \frac8{1-x^8} = \frac{16}{1-x^{16}}
$$
23
SatunnainenLaske $x$:
Vihje suorakulmainen kolmio
1
pinta-ala
Näytä ratkaisu
Kolmion pinta-ala on kanta $\times$ korkeus, ja kuvassa on kaksi kolmiota joiden kanta ja korkeus tiedetään, niin saadaan:
\begin{align*} A = 1200 \times 350 &= 1250 \times x \\
x &= \frac{1200\times350}{1250} \\
x &= 336
\end{align*}
2
Yhdenmuotoisuus
Näytä ratkaisu
Yhdenmuotoisista kolmioista (kk) nähdään,
että
\begin{align*}
\frac x{350} &= \frac{1200}{1250} &&|| \times 350 \\
x &= \frac{1200}{1250} \times 350 \\
x &= 336
\end{align*}
24
SatunnainenRatkaise $x$
$$ \left( \frac12 + \frac12 + \frac12 + \frac12 \right)^\sqrt x = 16 $$
Vihje MurtopotenssiPotenssiYhtälö
1
Murtoluvut Potenssi Neliöjuuri
Näytä ratkaisu
Lasketaan tylsästi, koska sama nimittäjä kaikissa:
\begin{align*}
\left( \frac12 + \frac12 + \frac12 + \frac12 \right)^\sqrt x &= 16\\
\left( \frac42 \right)^\sqrt x &= 16 \\
2 ^\sqrt x &= 16
\end{align*}
Koska $2^4 = 16$, saadaan, että $\sqrt x = 4$, jolloin $x = 16$.
2
Murtoluvut Potenssi Neliöjuuri Logaritmi
Näytä ratkaisu
Lasketaan tylsästi, koska sama nimittäjä kaikissa:
\begin{align*}
\left( \frac12 + \frac12 + \frac12 + \frac12 \right)^\sqrt x &= 16\\
\left( \frac42 \right)^\sqrt x &= 16 \\
2 ^\sqrt x &= 16 \\
2^\sqrt x &= 2^4 && ||\log_2 \\
\sqrt x &= 4 \\
\sqrt x &= \sqrt 16 &&|| ()^2 \\
x &= 16
\end{align*}
25
SatunnainenRatkaise yhtälöstä $x$:
$$2 \left( \left( \frac3x\right)^3 + \left( \frac 1x\right)^3 \right) = 7$$
1
Potenssi Murtoluvut
Näytä ratkaisu
Jaetaan yhtälö puolittain kahdella ($2$) ja poistetaan potenssit. Saadaan
$$\begin{align*}
\frac{3^3}{x^3} + \frac1{x^3} &= \frac72 \\
\frac{3^3 + 1}{x^3} &= \frac72 &&|| \times x^3\\
3^3 + 1 &=\frac72 x^3 && ||\times \frac27 \\
\frac27\left( 3^3 +1 \right) &= x^3 \\
\frac27 \times 29 &= x^3 \\
8 &= x^3 \\
2^3 &= x^3 \\
x &= 2
\end{align*}$$
2
Potenssi Muuttujan vaihto
Näytä ratkaisu
Tehdään muuttuja $u = 1/x^3$, jolloin saadaan
$$\begin{align*}
2\left( (3u)^3 + u^3 \right) &= 7 \\
2\left( 3^3 u^3 + u^3 \right) &= 7 \\
2\times 28 u^3 &= 7 \\
u^3 &= \frac{7}{2\times 28} \\
u^3 &= \frac18
\end{align*}$$
joten $x=2$.
26
SatunnainenRatkaise yhtälö
$$x^7 + 3x^5 + x^3 + x - 2 = 0$$
Vihje Korkeamman asteen polynomiNollakohtaPolynomi
27
SatunnainenMillä kokonaisluvuille $a,b$ pätee
$$a^{b^2} = b^a$$
Vihje kokonaisluvutPotenssi
28
Maths SolutionsLaske
$$ \sqrt[3]{9 + 4\sqrt5} + \sqrt[3]{9-4\sqrt5} $$
29
SatunnainenRatkaise kokonaislukujen joukosta
$$\begin{align*}
x^4 +1 &= 2yz \\
y^4 + 1 &= 2xz \\
z^4 +1 &= 2xy
\end{align*}$$
Vihje KokoPotenssiYhtälöryhmä
30
SatunnainenMikä on suurin $x$, jolla
$$f(x) = \frac{x^2-4}{x^2-2x-3}$$
on epäjatkuva?
Vihje EpäjatkuvuusRationaalifunktio
1—10, 11—20, 21—30,
31—40, 41—50, 51—60, 61—70, 71—80, 81—90, 91—100, 101—110, 111—115