Laske

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x-1}{\sqrt{2^x-1}\ln (2^x-1)}dx$$ 

Jos $a_1=184$ ja

$$(a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10})-(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9)=20$$

niin mitä on $S_{20}$?

Ratkaise $x$:
$x^x=\frac{1}{256}$$

Olkoon $S$ pienin sellainen joukko, jolle

(a) 2 kuuluu $S$:ään,
(b) $n$ kuuluu $S$:ään, jos $n^2$ on $S$:ssä, ja
(c) $(n+5{)}^2$ on joukossa $S$, jos $n$ kuuluu joukkoon $S$.
Mitkä positiiviset kokonaisluvut eivät kuulu joukkoon $S$?

Olkoon $n$ positiivinen kokonaisluku, ja olkoon $f_n(z)=n+(n-1)z+(n-2)z^2+\cdots +z^{n-1}$. Todista, että $f_n$:llä ei ole juuria suljetun yksikköympyrän sisällä, $\{z\in \mathbb{C}:|z|\le 1\}$. 

Etsi kaikki lukuparit $(a,b)$, kun $a$ ja $b$ ovat positiivisia kokonaislukuja, ja joille pätee

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{2018}$$

Määritä funktion $f(x)=\frac{1}{1+x}-1+x$ integraalifunktioista se, jonka suurin arvo välillä $0\le x\le 1$ on $\ln 2+\frac{1}{2}$.

Muodosta niiden funktioiden $f$ joukko, joille $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}$, $x\ne -1$. Määritä näistä funktioista se, jolle $f(0)=1$ ja $f(-e-1)=-3$.

Määritä se funktio $f$, jolle $f^{\prime }(x)=\frac{3}{x-1}+2$, kun $x>1$ ja $f(2)=1$.