Laske

$$\int_0^\infty \frac{x-1}{ \sqrt{2^x-1} \ln( 2^x -1 )}dx$$ 

Jos $a_1 = 184$ ja

$$ (a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} ) - ( a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9) = 20$$

niin mitä on $S_{20}$?

Ratkaise $x$:
$x^x = \frac1{256}$$

Olkoon $S$ pienin sellainen joukko, jolle

(a) 2 kuuluu $S$:ään,
(b) $n$ kuuluu $S$:ään, jos $n^2$ on $S$:ssä, ja
(c) $(n+5)^2$ on joukossa $S$, jos $n$ kuuluu joukkoon $S$.
Mitkä positiiviset kokonaisluvut eivät kuulu joukkoon $S$?

Olkoon $n$ positiivinen kokonaisluku, ja olkoon $f_n(z) = n+(n-1)z + (n-2)z^2 +\cdots + z^{n-1}$. Todista, että $f_n$:llä ei ole juuria suljetun yksikköympyrän sisällä, $\{z\in\mathbb C: |z|\leq 1\}$. 

Etsi kaikki lukuparit $(a,b)$, kun $a$ ja $b$ ovat positiivisia kokonaislukuja, ja joille pätee

$$\frac1a + \frac1b = \frac3{2018}$$

Määritä funktion $f(x) = \frac1{1+x} - 1+x$ integraalifunktioista se, jonka suurin arvo välillä $0\leq x \leq 1$ on $\ln2  + \frac12$.

Muodosta niiden funktioiden $f$ joukko, joille $f'(x) = \frac1{x+1}$, $x\neq -1$. Määritä näistä funktioista se, jolle $f(0) = 1$ ja $f(-e-1) = -3$.

Määritä se funktio $f$, jolle $f'(x) = \frac{3}{x-1}+2$, kun $x>1$ ja $f(2) = 1$.