Laske integraalit
\begin{align*}
a) && \frac{-3x}{x^2} dx \\
b) && \int \frac1{x+1} dx \\
c) && \int \frac{2}{4+x}dx \\
d) && \int \frac{x^2 - 3x}{x^2} dx \\
e) && \int (\sqrt x + \frac1x + \frac1{x^2})dx \\
f) && \int \frac{1 +\sqrt x}{x}dx \\
g) && \int (\sqrt x + \frac1 {\sqrt x})(\sqrt x - \frac1{\sqrt{x}}) dx \\
\end{align*}

Määritä sellaiset vakiot $A$ ja $B$, että $\int \sqrt{4x^2 +3}dx = Ax\sqrt{4x^2+3} + B\ln(2x+\sqrt{4x^2+3}) +$integroimisvakio.

Määritä funktion $f(x) = - \frac2{x^2}$, $x\neq 0$, integraalifunktioista ne, joiden kuvaajat kulkevat (a) pisteiden $(1,2)$ ja $(-1,-3)$, (b) pisteen $(2,4)$ kautta.

Määritä se  fuktio $f$, jonka derivaatan lauseke on $\frac1{x\sqrt x}$ ja joka saa arvon $0$, kun $x=5$.

Käyrän $y=f(x)$ mielivaltaiseen pisteeseen $(x,y)$ piirretyn tangentin kulmakerroin on $4x^2 +x$. Määritä käyrän yhtälö, kun tämä käyrä kulkee pisteen $(-2,5)$ kautta.

Käyrän $y=f(x)$ mielivaltaiseen pisteeseen $(x,y)$ piirretyn tangentin kulmakerroin on $4x^2 +x$. Määritä käyrän yhtälö, kun tämä käyrä kulkee pisteen $(-2,5)$ kautta.

Laske integraalit
\begin{align*}
a) && \int (x-1)(x+2)dx \\
b) && \int \frac{2x^2 + 4x -1}{5} dx \\
c) && \int \frac{x^2 + x}{x} dx\\
d) && \int \frac{x^3-3x}{x^3}dx \\
e) && \int x\sqrt x dx \\
f) && \int (\sqrt x +1 )( x - \sqrt x +1) dx \\
g) && \int (x+ \frac1x)^2 dx\\
\end{align*}

Erään hyönteislajin lisääntymisnopeus ajan $t$ (vuorokausia) funktiona on $v(t) = t+t^2$. jos hyönteisiä on alunperin $7500$, niin kuinka paljon niitä on kuuden vuorokauden kuluttua?

Käyrän $y=f(x)$ differentiaaliyhtälö on $y'' = 6x-2$. Määritä käyrän yhtälö, kun sen tangentin kulmakerroin pisteessä $(1,5)$ on $6$.

Määritä funktion $f(x) = 2x-1$ integraalifunktioista se, jonka kuvaaja erottaa $x$-akselista kolmen pituusyksikln suuruisen janan.