1—10, 11—20, 21—30, 31—40, 41—50, 51—60,
61—70, 71—80, 81—90, 91—100, 101—110, 111—115 51
SatunnainenMääritä $f(\frac12)$, kun $F(x) = x\sqrt{1-x^2} - \ln\frac{x}{1-x} +C$ ja $F'(x) = f(x)$.
52
SatunnainenMääritä funktion $f(x) = x-x^2$ se integraalifunktio, jonka paikallinen (eli lokaali) maksimiarvo on $1$.
Vihje IntegraalifunktioSuurin arvo
53
SatunnainenKäyrän $y=f(x)$ mielivaltaiseen pisteeseen $(x,y)$ piirretyn tangentin kulmakerroin on $1-x$. Määritä käyrä, kun funktion suurin arvo on $2$.
Vihje KulmakerroinSuurin arvoTangenttti
54
SatunnainenMääritä funktion $f(x) = 2x-2$ se integraalifunktio, jonka kuvaaja (a) kulkee pisteen $(2,-1)$ kautta, (b) sivuaa suoraa $y=x+1$.
Vihje Integraalifunktiosivuaasuora
55
SatunnainenMääritä se funktion $f(x) = 3x^2 -2x$ integraalifunktio $F$, jolle $F(3)= 2$.
56
S72 YlioppilaskoeOsoita, että $\frac{-1-\ln x}{x}$ on eräs funktoon $f(x) = \frac{\ln x}{x^2}$ integraalifunktio, kun $x>0$. Mitkä ovat funktion $f$ integraalifunktiot?
57
SatunnainenTiedetään, että kiintopistemenetelmä eli kiintopisteiterointi $x=g(x)$ lähestyy ratkaisua, jos $|g'(x) |< k < 1$.
a) Osoita: jos ehto $|g'(x)| < k < 1$ pätee välillä $a<x<b$, kyseisellä välillä yhtälöllä $x=g(x)$ on enintään yksi ratkaisu.
b) Osoita kiintopisteiteroinnin ehdon $|g'(x)| < k<1$ avulla, että Newtonin menetelmä lähestyy ratkaisua, jos $|f \cdot f''/(f')^2| < k < 1.$
Vihje DerivaattaItseisarvoKiintopisteiterointiNewtonin menetelmäNumeeriset menetelmät
58
SatunnainenLaske $f'(2)$ derivaatan määritelmän avulla, kun $f(x) = \frac1{x+2}$.
Vihje Derivaatan määritelmä
1
Derivaatan määritelmä Murtoluvut
Näytä ratkaisu
Derivaatan määritelmä
\begin{align*}
f'(x) = \lim_{a\to x}\frac{f(a) - f(x) }{a-x}
\end{align*}
joten saadaan (ilman raja-arvoja)
\begin{align*}
\frac{f(x) - f(2)}{x-2}
&= \frac{\frac1{x+2} - \frac1{2+2}}{x-2} \\
&= \frac{ \frac4{4(x+2)} - \frac{x+2}{4(x+2)}} {x-2} \\
&= \frac{ \frac{4-x-2}{4(x+2)}}{x-2} \\
&= \frac{2-x}{4(x+2)(x-2)} \\
&= \frac{-(x-2)}{4(x+2)(x-2)} \\
&= \frac{-1}{4(x+2)} \\
\end{align*}
Otetaan raja-arvo, kun $x\to2$, jolloin saadaan $f¨'(2) = -1/16$.
59
SatunnainenOlkoot $f$ ja $g$ derivoituvia funktioita (eli $f'$ ja $g'$ ovat olemassa). Johda määritelmästä lähtien tulon $f\cdot g$ derivointisääntö.
Vihje DerivaattaMääritelmäTulon derivointisääntö
1
Todistus
Näytä ratkaisu
Derivaatan määritelmästä
$$h'(x) = \lim_{x\to y} \frac{h(x) - h(y)}{x-y}$$
Nyt funktio $h(x) = f(x) g(x)$. Lasketaan erotusosamäärä
\begin{align*}
\frac{h(x) - h(y)}{x-y}
&= \frac{f(x) g(x) - f(y) g(y)}{x-y}
\end{align*}
Se ei ole aivan halutun näköinen, joten ovelasti lisätään sinne sopiva nolla: ${\color{red}f(x) g(y)} - {\color{blue }f(x)g(y)} = 0 $. Nyt saadaan
\begin{align*}
\frac{f(x) g(x) - f(y) g(y)}{x-y}
&= \frac{f(x) g(x) +{\color{red}f(x) g(y)} - {\color{blue }f(x)g(y)} - f(y)
g(y)}{x-y} \\
&= \frac{f(x) ( g(x) - {\color{blue} g(y)}) + g(y)({\color{red} f(x)} - f(y)) }{x-y} \\
&= f(x) \frac{ g(x) - {\color{blue} g(y)} }{x-y}
+ g(y) \frac{ {\color{red} f(x)} - f(y) }{x-y} \\
\end{align*}
Otetaan raja-arvo, ja tulon derivointisääntö seuraa.
\begin{align*}
\lim_{x\to y} \left( f(x) \frac{ g(x) - {\color{blue} g(y)} }{x-y}
+ g(y) \frac{ {\color{red} f(x)} - f(y) }{x-y} \right)
= fg' + gf'
\end{align*}
60
SatunnainenFunktion $f(x) = 5x^4 +4x-5$ nollakohdiksi saatiin arvot $x_1 = -1.18$ ja $x_2=0.782$. Osoita, että
a) nollakohtien ilmoitetut likiarvot ovat oikein 3 merkitsevällä numerolla.
b) Nollakohtia on tasan 2.
Vihje NollakohtaNollakohtien lukumääräNumeerinen
1—10, 11—20, 21—30, 31—40, 41—50, 51—60,
61—70, 71—80, 81—90, 91—100, 101—110, 111—115