Koska siis 
\begin{align*}
a &= \frac{dv}{dt} &&|| a=g\\
g &= \frac{dv}{dt} &&|| \int d t \\
\int \limits_{0}^t g dt &= \int \limits_{0}^t \frac{dv}{dt} dt \\
g(t-0) &= \int \limits_{0}^t dv \\
gt &= v(t) - v(0)
\end{align*}

Yleensä merkitään $v(0) = v_0$, ja pyydettiin ratkaisemaan nopeus, joten 
$$ v= v_0 + gt$$
ja tämä täsmää fysiikan tunneilta opitun kanssa. 

Lasketaan se enemmän differentiaalisesti. Tämä on hieman erikoinen, tapa (derivaatasta ei oikein saa kertoa nimittäjää pois) mutta toimii:
\begin{align*}
a &= \frac{dv}{dt} &&|| a = g \\
g &= \frac{dv}{dt} && || dt \\
gdt &= dv &&||\int \\
\int \limits_0^t g dt &= \int \limits_0 ^t dv \\
g\cdot (t-0) &= v(t) - v(0)
\end{align*}
josta saadaan $v(t) = v_0 + gt$, kunhan merkitään $v_0 = v(0)$.

Yhtälö voidaan ratkaista integroimalla myös määräämättömällä integraalilla
\begin{align*}
a &= \frac{dv}{dt} &&|| a=g \\
g &= \frac{dv}{dt} &&|| \int dt \\
\int g dt &= \int \frac{dv}{dt}dt \\
gt + C_1 &= \int dv \\
gt + C_1 &= v + C_2 &&||-C_1 \\
gt &= v + C_2 - C_1 
\end{align*}
Oikeasti ei tarvitse laittaa integroimisvakiota molemmille puolille, koska meille jää vain niiden erotus $C = C_2 - C1$. Siis ylläoleva voidaan kirjoittaa
\begin{align*}
gt &= v + C_2 - C_1 \\
gt &= v + C && || -C \\
v &= gt - C
\end{align*}
Integroimisvakio $C$ ratkaistaan tietämällä, että aluksi hetkellä $t=0$ nopeus on $v(0)=v_0$. Lasketaan:
\begin{align*}
v(0) &= g\cdot 0 -C \\
v_0 = -C
\end{align*}
Siis saadaan tuttu yhtälö $v = gt + v_0$

Huomataan, että aritmeettisen jonon erotus on $2$, joten se käy parittomat luvut läpi. Jossain kohtaa tulossa on termi 
$$\begin{align*}
\left(
19 - \frac{361}{19}
\right)
=
19 - \frac{19\times19}{19}
= 
19-19 = 0
\end{align*}$$
Siis tulon nollasäännön perusteella tulo on nolla.

Tulossa olevat termit $\frac1{19}, \frac3{19}, \frac5{19}\dots \frac{1919}{19}$ voidaan kirjoittaa muodossa $\frac{2k+1}{19}$, kun $k=0,\dots,909$. Siis alkuperäinen tulo voidaan kirjoittaa muodossa
$$\begin{align*}
\sum_{k=0}^{909}
\left( 19 - \frac{2k+1}{19}
\right)
\end{align*}$$
Mutta, jos $k=180$, saadaan 
$$\begin{align*}
\left( 19 - \frac{2\cdot180+1}{19}
\right)
= 19 - 19 = 0 
\end{align*}$$
Tulon nollasäännön perusteella tulo on siis nolla. 

Poistetaan ensin neliöjuuri vasemmalta puolelta:
$$3 + \sqrt{9+x}= x^{2/3}$$
Sitten poistetaan tuo toinen neliöjuuri:
$$\begin{align*}
3 + \sqrt{9+x} &= x^{2/3} \quad&&||-3 \\
 \sqrt{9+x} &= x^{2/3}-3 \quad&&||()^2 \\
9+x &= (x^2/3)^2 -2\cdot 3\cdot x^{2/3} + (-3)^2 \\
9+x &= x^{4/3} -6 x^{2/3} + 9 \quad&&||-9-x \\
0 &= x^{4/3} -6 x^{2/3} -x 
\end{align*}$$
Nyt pitää hetken ajatella, mutta koska $x$ voidaan kirjoittaa muodossa $x = x^{1/3}\cdot x^{2/3}$, niin tehdään uusi muuttuja; $y=x^{1/3}$. Saadaan
$$\begin{align*}
0 &= x^{4/3} -6 x^{2/3} -x \\
0 &= y^3 - 6y^2 - y^3 \\
0 &= y^2 (y - 6y - y^2) \\
\end{align*}$$
Toisen asteen yhtälö ratkeaa helposti, nollakohdat ovat $y=-2$ ja $y=3$. Saadaan siis
$$\begin{align*}
0 &= y^2 ( y - 6y - y^2 ) \\
0 &= y^2 (y-3)(y+2)
\end{align*} 
Koska alkuperäisessä yhtälössä on vasemmalla puolen neliöjuuri, $x$:n kolmas juuri pitää olla positiivinen. Siksi voidaan hävittää negatiivinen juuri. Nolla kelpaa ja koska $y = x^{1/3} = 3$, saadaan, että $x= 3^3 = 27$ tai $x=0$.

Aloitetaan logaritmeista. Muutetaan logaritmien kannat samaksi. Logaritmin kannanvaihto menee säännöllä
$$ \log_ax = \frac{\log_b x}{\log_b a}$$
Käytetään mielivaltaista kantaa, eli kirjoitetaan vain $\log x$. Siis tehtävä voidaan kirjoittaa
$$\begin{align*}
x^2 \log_x 8 \cdot \log_4 x \cdot \log _8 4 &\geq 4x -4 \\
x^2 \frac{\log 8}{\log x} \cdot \frac{\log x}{\log 4} \cdot \frac{\log 4}{\log 8} &\geq  4x-4 \\
x^2 &\geq 4x-4 \quad \quad ||-4x+4\\
x^2 -4x+4 &\geq 0\\
(x-2)^2 &\geq 0
\end{align*}
Logaritmin kantaluvun on oltava nollaa suurempi, siis $x>0$, mutta kantaluku ei saa olla yksi, siis $x\neq1$. Lisäksi argumentin on oltava nollaa suurempi, eli $x>0$.
Siis vastaus $x>0$, mutta $x\neq 1$.