Millä $x$:n arvoilla on määritelty lauseke $$f(x) = \frac{x}{x-1} + \lg{2-x} + \sqrt{5x + 3 -2x^2}$$?

Rusinoita saadaan viinirypäleitä kuivattamalla. Kuinka monta prosenttia rypäleiden vedestä haihtuu kuivatuksessa, kun rypäleiden vesipitoisuus on 82 painoprosenttia ja rusinoiden 24 painoprosenttia?

Määritä ne reaaliluvut $x$, joilla $x|x|  + 2x +1 = 0$.

Suoran ympyrälieriön muotoiseen astiaan kaadetaan $5.0$ l vettä. Tällöin veden korkeus astiassa on $22$ cm. Laske pohjan halkaisija.

Sydneyn asukasluku toteuttaa erään mallin mukaan differentiaaliyhtälön $$ \frac{dy}{dt} - \frac1{100}y = \frac{17}{1000},$$ jossa $y=y(t)$ on asukasluku vuonna $1990+t$ miljoonina asukkaina. Sydneyn asukasluku vuonna 1990 oli $3~539~000$, joten $y(0) = 3.539$. Mikä on mallin mukaan Sydneyn asukasluku vuonna 2000?

Funktio $f\; : \; [1, \infty[ \to \mathbb R$ on ei-negatiivinen ja toteuttaa yhtälön $x+f(x) = e^{f(x)}$. 1$^\circ$ Määritä $f(e-1)$ ja $f(1)$. 2$^\circ$ Piirrä käänteisfunktion $f^{-1}$ kuvaaja ja sen avulla funktion $f$ kuvaaja. 

Osoita, että suora $(C^2 + 1) x - C^2 y + C^2 -1 = 0$ kaikilla vakion $C$ arvoilla kulkee kiinteän pisteen kautta. Mikä tämä piste on? Piirrä suoraparvi.

Henkilö lähtee töihin joka aamulla autolla samaan aikaan. Hän saapuu työpaikkansa pysäköintialueelle ajankohtana, joka noudattaa normaalijakaumaa. Keskiarvo on klo 8.50 ja hajonta 5 min. Pysäköintialueelta löytyy paikka 5 min todennäköisyydellä, ja sieltä on viiden minuutin kävelymatka työpaikalle. Jos kaikki pysäköintipaikat ovat varattuja, henkilö voi ajaa viidessä minuutissa toiselle alueelle, jolta aina löytyy pysäköintipaikka, mutta jolta on 10 minuutin kävelymatka työpaikalle. Mikä on todennäköisyys, että henkilö saapuu työpaikalleen klo 9.00 jälkeen?

Määritä lukujonon $$\frac{n^4}{2^n}$$ $(n=1,2,3, \dots$) suurin luku. Perustelu.

Olkoon $K$ ympyrän keskipiste, $A$ ja $B$ ympyrän halkaisijan päätepisteet ja $C$ mielivaltainen kehän piste, joka ei ole $A$ eikä $B$. Todista, että kehäkulma $CAB$ on puolet keskuskulmasta $CKB$.