1—10, 11—20, 21—30, 31—40, 41—50, 51—60, 61—70, 71—80, 81—90, 91—100,
101—110, 111—115 91
7a/s96 YlioppilaskoeKäyrällä $y = x^3( x^2 -1) ^{-1}$ on kolme suoraviivaista asymptoottia. Määritä ne ja piirrä käyrä asymptootteineen.
Vihje AsymptootitPiirrä käyrä
92
6/s96 YlioppilaskoeMääritä funktion $f \; : \; f(x) = 2\sin x + \cos 2x$ suurin ja pienin arvo.
Vihje KosiniSinisuurin ja pienin arvoTrigonometria
93
5b/s96 YlioppilaskoeVuoden 1994 verotuksessa opintorahaa pidettiin ansiotulona, mutta opiskelijalla oli oikeus tehdä kunnallisverouksessa ansiotuloistaan opintorahavähennys. Vähennyksen enimmäismäärä oli $13~000$ mk, kuitenkin enintään saadun opintorahan suuruus. Vähennys pieneni $50\%$:lla siitä määrästä, jolla ansiotulot ylittivät $13~000$ mk. Vähennystä ei myönnetty, jos ansiotulot ylittivät $39~000$ mk. Esitä vähennyksen määrä $y$ ansiotulojen $x$ funktiona ja piirrä funktion kuvaaja, kun opiskelijan opintoraha oli $11~000$ mk. Mikä oli vähennyksen suuruus, kun ansiotulot olivat $22~500$ mk?
94
5/s96 YlioppilaskoeOlkoon $\vec{OP}_1 = \vec i + 2\vec j + 3\vec k$, $\vec{OP}_2 = 3\vec i + \vec j + 2\vec k$ ja $\vec{OP}_3 = 2\vec i + 3\vec j + \vec k$. Laske kolmion $P_1P_2P3$ ala.
Vihje Kolmion pinta-alaSuuntavektorivektorit
95
4/s96 YlioppilaskoeLentokone, jonka nopeus tyynessä säässä on $v$ km/h, lentää matkan $A$:sta $B$:hen ja takaisin. Matkan aikana puhaltaa tuuli, jonka suunta on $A$:sta $B$:hen ja nopeus $c$ km/h. Tällöin matkaan kuluu $20\%$ enemmän aikaa kuin tyynessä säässä. Laske suhde $c/v$.
Vihje nopeusprosenttilasku
96
3/96 YlioppilaskoeSäännöllisen $n$-kulmion, jonka sivut $=2$, kärjet keskipisteenä piirretään ympyrät, joiden säde $=1$. Määritä sen alueen ala, jonka pisteet kuuluvat $n$-kulmioon, mutta eivät kuulu mihinkään ympyröistä.
Vihje n-kulmiopinta-alaympyrä
97
2b/96 YlioppilaskoeTavaran hintaa alennettiin ensin $p\%$ ja näin saatua hintaa vielä $q\%$. Kuinka monta prosenttia oli kokonaisalennus? Mitä vaikuttaa kokonaisalennukseen, jos $p$ ja $q$ vaihdetaan?
Vihje prosenttilaskuvaihdannaisuus
98
2/96 YlioppilaskoeLaske $$\int_0^{\ln 2}( e^{3x} + 2e^{-x})d x$$
Vihje EksponenttiIntegrointi
99
1/96 YlioppilaskoeRatkaise yhtälö $$\frac{(x+1)^2 - \pi^2}{x^2 + \pi^2} = 0$$
Vihje potenssiyhtälörationaaliyhtälö
1
Potenssiyhtälö Parillinen potenssi toisen asteen yhtälö
Näytä ratkaisu
Koska jakaja ($x^2 + \pi^2$) ei voi olla nolla, nollalla jaon ongelmaa ei ole. Kerrotaan alkuperäinen yhtälö jakajalla, jolloin päästään siitä eroon:
$$\begin{align*}
\frac{(x+1)^2 - \pi^2}{x^2+\pi^2} &=0 \quad&&|| (x^2 + \pi^2) \\
(x+1)^2 - \pi^2 &=0 \quad &&|| +\pi^2 \\
(x+1)^2 &= \pi^2
\end{align*}$$
Yhtäsuuruusmerkin molemmilla puolilla on neliö, joten käytetään käänteisoperaattoria (neliöjuuri), saadaan
$$\begin{align*}
(x+1)^2 &= \pi^2 \\
(x+1) &= \pm \pi \\
x &= \pm \pi -1
\end{align*}$$
Koska alkuperäinen yhtälö oli toisen asteen yhtälö, kaksi ratkaisua on hyvä.
2
toisen asteen yhtälö Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava
Näytä ratkaisu
Jakaja ei voi olla nolla, joten nollallajaon ongelmaa ei ole. Aloitetaan kertomalla jakaja pois; saadaan
$$\begin{align*}
\frac{(x+1)^2 - \pi^2}{x^2 + \pi^2} &= 0 &&||(x^2+\pi^2) \\
(x+1)^2 - \pi^2 &= 0 \\
x^2 + 2x +1 - \pi^2 &=0 \\
\end{align*}$$
Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan mukaan
$$\begin{align*}
x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\
x &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\times1\times(1-\pi^2)}}{2\times1} \\
x &= \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1-\pi^2)}}{2} \\
x &= \frac{-2 \pm 2\sqrt{1 - (1-\pi^2)}}{2} \\
x &= -1 \pm \sqrt{1 - (1-\pi^2)} \\
x &= -1 \pm \sqrt{\pi^2} \\
x &= -1 \pm \pi
\end{align*}$$
100
10b/k96 YlioppilaskoeGraniittilohkareesta on hakattava tilavuudeltaan mahdollisimman suuri suorakulmainen särmiö. Määrää särmiön tilavuus ja sivujen pituudet koordinaatistossa, jossa lohkare on $G = \{ (x,y,z) | 0 \leq z \leq 4 - 3x^2-2y^2 \}$.
Vihje AvaruusgeometriaIntegrointiTilavuus
1—10, 11—20, 21—30, 31—40, 41—50, 51—60, 61—70, 71—80, 81—90, 91—100,
101—110, 111—115